于永源电力系统欧宝注册第四章答案ppt 136页

欧宝注册哈哈哈 哈哈哈 第一节 电力网络的数学模型 第二节 等值变压器模型及其应用 第三节 节点导纳矩阵的形成和修改 第四节 功率方程和变量及节点分类 第五节 高斯-赛德尔法潮流计算 第六节 牛顿-拉夫逊法潮流计算 第七节 P-Q分解法潮流计算 第三章讨论简单电力网络的潮流分布计算，理解了与之相 关的各种物理现象。对于复杂电力网络的潮流计算，一般必须 借助电子计算机进行。 运用电子计算机进行潮流计算，一般要完成以下步骤： 1、建立电力网络的数学模型 2、确定解算方法 3、制定计算流程和编制计算程序 本章将着重讨论前两项，主要阐述在电力系统潮流的实 际计算中常用的、基本的方法。 第一节 电力网络的数学模型 一、节点导纳矩阵的节点电压方程 基本方程 各矩阵和向量的含义 二、节点阻抗矩阵的节点电压方程 第二节 等值变压器模型及其应用 一、变压器为非标准变比时的修正 无论采用有名制或标么制，凡涉及多电压级网络的计算电力系统节点导纳矩阵，在精确计算时都必须将网络中所有参数和变量按实际变比归算到同一电压等级。实际上，在电力系统计算中总是有些变压器的实际变比不等于变压器两侧所选电压基准值之比，也就是不等于标准变比，而且变压器的变比在运行中是可以改变的。

这将使每改变一次变比都要重新计算元件参数，很不方便。下面将介绍一种可等值地体现变压器电压变换功能的模型。 第三节 节点导纳矩阵的形成和修改 （5）原有网络节点 和 之间变压器的变比由 变为 时，相当于在原网络节点 和 之间切除一变比为 的变压器支路，而又增加一个变比为 的变压器支路。其元素修正如下： 第四节 功率方程和变量及节点分类 每个节点的功率方程 将有功功率和无功功率分列 关于变量：对于 n 个节点的电力网络，可以列出2n 个功率 方程。每个节点具有四个变量，n 个节点有4n 个变量， 但只有2n 个方程。 第五节 高斯-塞德尔法潮流计算 高斯-塞德尔叠代格式 高斯-塞德尔迭代法计算潮流的步骤 1. 设定各节点电压的初值，并给定迭代误差判据； 2. 对每一个PQ节点，以前一次迭代的节点电压值代入功率迭代方程式求出新值； 3. 对于PV节点，求出其无功功率，并判断是否越限，如越限则将PV节点转化为PQ节点； 4. 判别各节点电压前后二次迭代值相量差的模是否小于给定误差，如不小于，则回到第2步，继续进行计算，否则转到第5步； 5. 根据功率方程求出平衡节点注入功率； 6. 求支路功率分布和支路功率损耗。

第六节 牛顿-拉夫逊法潮流计算 二、节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法 潮流计算 节点电压的直角坐标表示 节点导纳矩阵的元素 当 时 式中， 和 都是二维列向量； 是 阶方阵。 对PQ节点 三、节点电压用极坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算 节点电压的极坐标表示 节点导纳矩阵的元素 第七节 P-Q分解法潮流计算 P-Q分解法：牛顿-拉夫逊法潮流计算的一种简化方法。 牛顿-拉夫逊法的缺点：牛顿-拉夫逊法的雅可比矩阵在每一次迭代过程中都有变化，需要重新形成和求解，这占据了计算的大部分时间，成为牛顿-拉夫逊法计算速度不能提高的主要原因。 P-Q分解法的优点：利用了电力系统的一些特有的运行特性，对牛顿-拉夫逊法做了简化，以改进和提高计算速度。 一、牛顿-拉夫逊法简化形成P-Q分解法的过程 1.以一个 n-1 阶和一个 m 阶线性方程组代替原有的 m+n-1 阶线性方程组； 2.修正方程的系数矩阵 和 为对称常数矩阵，且在迭 代过程中保持不变； 3.P-Q分解法具有线性收敛特性，与牛顿-拉夫逊法相比，当 收敛到同样的精度时需要的迭代次数较多； 4.P-Q分解法一般只适用于110KV及以上电网的计算。

欧宝注册因为 35KV及以下电压等级的线路 r/x 比值很大，不满足上述简 化条件，可能出现迭代计算不收敛的情况。 例 如图所示电力系统， ，节点1为负荷节点（PQ节点），给定 ，节点2为平衡节点，给定电压 。用直角坐标表示电压，即 ，用牛顿-拉夫逊法进行潮流计算，求关于 、 的修正方程（不必求解）。 1 2 解 节点导纳矩阵 ， ， ， ， 节点1的注入功率： 直角坐标表示的节点2的电压： ， ， 节点1的功率平衡方程： 可得 或由（4-49）和（4-50）计算 得关于 ， 的修正方程 类似地，可求出 、 、 。 n+1 个节点的系统 不同类型的节点编号：1～m，PQ节 点；m+1～n-1，PV节点；n，平衡节点。 每个节点（一般节点，编号为i）的功率方程 每个节点的注入电流 由节点电压方程 代入 代入节点电压和节点导纳矩阵的元素 展开，并将实部和虚部分列 ：i、j两节点电压相角差 说明：与用直角坐标表示时一样，对不同类型的节点（ PQ、 PV、平衡），所列出的方程是不同的。 PQ节点：节点编号为1，2，…，m。 已知节点注入有功功率 和无功功率 。 待求节点电压相量的幅值 和相角 。

可列出方程 ：已知（给定）的节点注入有功功率和 无功功率 、 PV节点：节点编号为m+1，m+2，…，n-1。 已知节点注入有功功率 和电压相量的幅值 。 待求节点电压相量的相角 。 可列出方程 ：已知（给定）的节点注入有功功率和 电压相量幅值。 、 考察：待求变量数和方程数。 变量 所有PQ节点的电压幅值和相角，所有PV节点的 电压相角，共有 个。 方程 将所有PQ节点和PV节点列出的方程数相加， 方程数 个。 结论 由所有PQ节点和PV节点列出的方程组成的方程 组，方程数和待求变量数相等，所以方程组有唯 一解。 平衡节点：节点编号n，电压 给定（已 知），不需叠代计算。 修正方程的推导 1. n+1 个节点的系统（其中一个为参考节点），节点分类和编 号： 1~m: PQ节点，有m个P（有功功率）平衡方程，m个Q 无功 功率）平衡方程： ， ， ， ， ， 。 m+1~n-1: PV节点，有n-1-m个P（有功功率）平衡方程： 未知量： ， ， ， ， ， 。 ， … … ， ， ， ， 。 未知量： n: 平衡节点，无功率平衡方程，无未知量。 2. 平衡方程的形式 n-1 个有功功率平衡方程 m个无功功率平衡方程 每个有功功率平衡方程的具体表达式 每个无功功率平衡方程的具体表达式 3. 每个功率平衡方程对应的修正方程 4. 将修正方程写成矩阵形式 n-1行 m行 n-1列 m列 修正方程的系数矩阵（雅可比矩阵）各元素 ，i, j 1, 2, … , n-1 , i 1, 2, … , n-1, j 1, 2, … , m , i 1, 2, … , m, j 1, 2, … , n-1 ，i, j 1, 2, … , m 修正方程的简洁 分块 形式 其中 雅可比矩阵的元素表达式 根据 、 的表达式式，可得到 雅可比矩阵的元素计算式 当 时 当 时 计算的步骤和程序框图与直角坐标形式的相似。

例 同前例，但节点电压用极坐标表示，即 ，求 和 的修正方程。 解 节点导纳矩阵同前例，即 ， ， 节点1的注入功率为 平衡节点2的电压为 节点1的功率平衡方程 所求修正方程如下 写成矩阵形式 依据：节点电压用极坐标表示的牛顿-拉夫逊法修正方程 简化过程 1. 展开牛顿-拉夫逊法修正方程 2.考虑正常运行电力系统的特点 （１）电力系统有功功率分布主要受节点电压相角的影响， 无功功率分布主要受节点电压幅值的影响，所以可以近似的 忽略电压幅值变化对有功功率的影响和电压相位变化对无功 功率分布的影响。因此 所以修正方程中的有功功率和无功功率分离 （2）线路两端的电压相位角一般变化不大（不超过10-20 度）；一般架空线路的电抗远大于电阻。由此 由以上结论，可得修正方程的系数矩阵的元素 3. 修正方程的系数矩阵可分解为 写成 写成 4.将H、L的分解式代入P、Q分离后的修正方程 或 考虑到 PQ分解法的最终形式为 二、P-Q分解法的特点 4. 第二次迭代 修正 于是，第二次迭代后，节点2的电压为 节点3的电压相角、无功功率分别为 一、基本原理 注：一种求解非线性方程（组）的方法。

欧宝注册 关于待求变量 的非线性方程 ：变量 的非线性函数 ：常数，称方程的右端项 问题：非线性方程的解一般不能解析表示，需寻求数值解法， 上节的高斯-塞德尔法就属于此法，但该法收敛速度 慢。 求解步骤 设定初值 即方程有近似解 误差 近似解存在误差 ，即 则有 代入 将真解 代入非线性方程 展开 将方程的左边展开成泰勒级数 近似 误差 一般很小，二次及以上阶次的各项可略 去，方程简化成 修正方程 可得到关于误差 的线性方程，称修正方程 修正 解修正方程，得真解与近似解的误差 ，用该误差 对近似解进行修正 叠代 修正后的解 与真解仍有误差，为进一步逼近真 解，这样的叠代计算反复进行下去。叠代计算通式 （叠代格式） 叠代终止 叠代不能无休止地进行下去，必须在适当的时候 结束计算。必须设定叠代终止的标准。 收敛判据 或 ：叠代开始前设定的小正数 几何意义 推广至多元非线性方程组 n 元非线性方程组 ：待求变量 ：非线性函数 ：已知常数，方程右端项 设定初值：即方程的近似解 叠代过程：每一叠代过程电力系统节点导纳矩阵，包含两步 修正方程 修正格式 ：叠代次数， 收敛判据：迭代过程一直进行到满足收敛判据 为止， 为预先给定的小正数。

修正方程和修正格式的矩阵形式 写成更简洁的形式 ：雅可比矩阵 ：修正量（误差）列向量 ：不平衡量列向量 ：解（列）向量 说明：将解的初值 代入，得修正方程各元素，解修正方程， 得修正量 ，从而得解的新值 。 再将求得的 代入电力系统节点导纳矩阵，求得修正方程各元素的新值，再 次解修正方程，得新的修正量 和解的新值 如此循环，得足够精确的解。 注：将牛顿-拉夫逊法用于潮流计算，要求将潮流方程（节点 功率平衡方程）写成以下形式形 由于节点电压可以采用不同的坐标系表示，牛顿-拉夫逊法潮 流计算也就相应地采取不同的计算公式。 n+1 个节点的系统 不同类型的节点编号：1～m，PQ节 点；m+1～n-1，PV节点；n，平衡节点。 每个节点（一般节点，编号为i）的功率方程 每个节点的注入电流 由节点电压方程 代入 代入节点电压和节点导纳矩阵的元素 展开，并将实部和虚部分列 说明：不难理解对不同类型的节点（ PQ、PV、平衡），所列 出的方程是不同的。 PQ节点：节点编号为1，2，…，m。 已知节点注入有功功率 和无功功率 。 待求节点电压相量的实部 和虚部 。 可列出方程 ：已知（给定）的节点注入有功功率和 无功功率 、 PV节点：节点编号为m+1，m+2，…，n-1。

已知节点注入有功功率 和电压相量的幅值 。 待求节点电压相量的实部 和虚部 。 可列出方程 ：已知（给定）的节点注入有功功率和 电压相量幅值。 、 考察：待求变量数和方程数。 变量 除平衡节点以外的所有节点电压相量的实部和 虚部，变量数 。 方程 将所有PQ节点和PV节点列出的方程数相加， 方程数 。 结论 由所有PQ节点和PV节点列出的方程组成的方程 组，方程数和待求变量数相等，所以方程组有唯 一解。 平衡节点：节点编号n，电压 给定（已知），不 需叠代计算。 修正方程的推导 1、将列出的方程按节点编号顺序排列，每个节点按先有功， 后无功，或先有功，后电压幅值的顺序排列。 说明：方程组包含三种类型的方程，有功功率不平衡方程、无 功功率不平衡方程，电压幅值不平衡方程。每个方程可 列出其对应的修正方程。 2、根据一般非线性方程组求解的修正方程表达式，可得三种 类型不平衡方程对应的修正方程 3、将所有节点对应的修正方程列出，共有2 n-1 个方程，待 求变量为 、 、 、 、 、 、 。也是 2 n-1 个。 将2 n-1 个修正方程写成矩阵形式 … 写成简洁形式 不平衡量向量 雅可比矩阵 待求变量向量 当 时 雅可比矩阵的元素表达式 根据 、 、 的表达 式，可得到雅可比矩阵的元素计算式 修正方程的分块形式 对PV节点 雅可比矩阵的特点 （1）雅可比矩阵各元素都是节点电压相量的实部和虚部的函 数，它们的数值将在迭代过程中随电压变化而改变。

欧宝注册 （2）由雅可比矩阵元素的计算式可以看出，当节点导纳矩阵 的非对角元 为零时，雅可比矩阵中相对应的元素也为零， 即该矩阵也是稀疏的。 （3）雅可比矩阵不对称。 输入原始数据 形成节点导纳矩阵 按公式（11-49）和（11-50）计算雅可比矩阵各元素 计算平衡节点功率及全部线路功率 输出 牛顿-拉夫逊法潮流 计算流程 观察法：根据网络结构和元件参数，依据节点导纳矩阵各元 素的性质，直接求出。 1 2 3 1 2 3 添加支路法 1. 将网络中所有支路全部 去掉，得一只剩下全部 节点的退化网络，相应 的节点导纳矩阵为一零 矩阵。 1 2 3 2. 按原网络的结构和参数 逐渐添加各支路（元 件），每添加一条支路， 节点导纳矩阵作相应修 改，直至所有支路全部 添加上去，节点导纳也 就形成了。 1 2 3 1 2 3 二、节点导纳矩阵的修改 注：对已知网络，节点导纳矩阵已形成。若发生局部变化，不 必将所有矩阵元素重新计算。只需做局部修改。 i j 1.从原有网络中引出一条新的支 路，同时增加一个新的节点。 节点导纳矩阵作局部修改： （1）节点导纳矩阵阶数加1 （2）节点导纳矩阵新增对角元 （3）节点导纳矩阵新增加非对角元 （4）节点导纳矩阵原有节点的自导纳增量 （5）节点导纳矩阵其他新增的元素为零。

2.在原网络的两个节点之间增加新 支路。 节点导纳矩阵作局部修改： i j （1）节点导纳矩阵阶数不变 （2）节点导纳矩阵对角元增量 （3）节点导纳矩阵非对角元增量 （4）节点导纳矩阵其他元素不变 注：若节点 j 为原网络的参考节点， 只对角元 有增量， ， 其他不变。 i j 3. 在原网络的两个节点之间切除支路， 相当于新增一元件，该元件的参数等 于被切除元件参数的负值。 节点导纳矩阵作局部修改： i j （1）节点导纳矩阵阶数不变 （2）节点导纳矩阵对角元增量 （3）节点导纳矩阵非对角元增量 （4）节点导纳矩阵其他元素不变 3. 在原网络的支路参数（如 ）修改 为新值（如 ），相当于切除参数 为 的支路，并增加参数为 的 支路。 节点导纳矩阵作局部修改： i j （1）节点导纳矩阵阶数不变 （2）节点导纳矩阵对角元增量 （3）节点导纳矩阵非对角元增量 说明：建立了节点导纳矩阵，就可以进行潮流分布计算。若已 知节点电流，直接求解节点电压方程 即可。但 工程实践中通常已知的既不是节点电压，也不是节点电 流电力系统节点导纳矩阵，而是节点功率。

所以，实际计算时，几乎无一例外 要叠代求解非线性节点电压方程 一、功率方程 二节点电力系统：从一个简单二节点电力系统引入功率方程 的概念。 1 2 1 2 等值网络 节点电压方程 对上述二节点系统，列出节点电压方程 按行展开，并考虑 可得 功率方程 令 并考虑到 将有功功率 ， 及无功功率 ， 分列 一般网络：n 个节点电力网络 二、变量的分类 1、负荷消耗的有功、无功功率（ 、 ）取决于用户，因 而是无法控制的，故称为不可控变量或扰动变量。一般以列向量 表示，即 2、电源发出的有功、无功功率（ 、 ）是可以控制的变量，故称为控制变量，以列向量 表示，即 3、母线或节点电压和相位角（ 、 ），是受控制变量控制的因变量。其中 主要受 的控制， 主要受 的控制。故 、 称为系统的状态变量，以列向量 表示，即 三、节点分类 1. PQ节点：节点注入有功功率和无功功率给定。相当于 负荷节点。 2. PV节点：节点注入有功功率和电压幅值给定。相当于 发电机节点。 3. 平衡节点：节点电压幅值和相位给定。用于平衡全网 功率，以该节点电压为参考相量电力系统节点导纳矩阵，即其电压 相位为零。

欧宝注册 注：节点的数量概念，一个电网中有大量的PQ节点，少量的 PV节点（也可没有），有且只有一个平衡节点。 基本思路 考察非线性方程组 特点：待求变量不能用方程的系数的代数式显式表示。用叠 代方法求解，基本步骤如下。 设 待求变量初值为 ，根据给定非线性方程，得以下叠 代过程 序列 若序列收敛，则序列的极限就是方程的解（根） 该过程是一种逐次逼近叠代法，称高斯叠代法。 高斯叠代法应用于电力系统潮流计算 基本目标：基于节点电压方程 对不同类型的节点（PQ、PV、平衡）处理方法不同。 求节点电压 PQ节点的处理 假设：n个节点（不包括参考节点）的电力系统，没有PV节 点，平衡节点编号为s。可列出节点电压方程 对每个PQ节点，已知其功率 ，待求变量为电压 由 得 将节点电压方程展开，取第i 个方程，得第i 个节点的方程 即 得叠代方程（关于节点电压相量的非线性方程） 注：对每一个PQ节点都可列出一个方程，因而有n-1个方程（不含 平衡节点）。在这些方程中，注入功率Pi和Qi都是给定的，平衡 节点电压也是已知的，因而只有n-1个节点的电压为未知量，从而 有可能求得唯一解。 从叠代方程（非线性方程）到叠代格式 设定除平衡节点以外的其他节点的电压初值 两种叠代格式：高斯叠代格式和高斯-塞德尔叠代格式 高斯迭代格式，即各节点电压的第k+1次计算值为 注1：在迭代过程中，平衡节点（编号为s）电压始终不变。

注2：高斯叠代格式和高斯-塞德尔叠代格式的异同。在高斯法的每一次迭代过程中是用上一次迭代的全部分量来计算本次的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出来的最新分量并没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的分量要好些。因此，对这些最新计算出来的第k+1次近似分量加以利用，就是高斯-塞德尔迭代法。 注3：功率方程的特点。描述电力系统功率与电压关系的方程式是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解 。 PV节点的处理 假设：设n个节点（不包括参考节点）的电力系统中有少量PV 节点。若编号为p的节点为PV节点。平衡节点编号为s。 已知变量：对每个PV节点，已知节点注入有功功率 和节 点电压幅值 。 待求变量：对每个PV节点，待求变量为节点电压相角 。 叠代前处理：完成第k次迭代后，做第k+1次迭代前，先求出PV 节点 p 的注入无功功率。 初值设定：PQ节点电压，PV节点注入无功功率 和节点电 压相位 。 由节点电压方程，对PQ节点 p 可解出 所以，PV节点 p 的注入无功功率可叠代求出 叠代格式 叠代后处理：在迭代过程中，按上式求得的节点 p 的电压大 小不一定等于设定的节点电压 ，所以在下一次的迭 代中，应以设定的 对电压进行修正，但其相角仍保 持上式所求得的值，使得 例 简单系统如图，节点1为平衡节点， ，节点2为PQ 节点，给定 ，节点3为PV节点， ， ， 用高斯-塞德尔迭代法计算潮流，求第二次迭代结束时节点2的电压 和节点3的电压相角 。

1 2 3 PQ PV 解 1. 节点导纳矩阵 2. 设定初值 3. 第一次迭代 由于 将 修正为 第四章 电力系统潮流的计算机算法 第四章 电力系统潮流的计算机算法 第四章 电力系统潮流的计算机算法 概念：将网络有关参数及其相互关系归纳起来，组成反映网 络性能的数学方程组。对电力系统的运行状态、变量 和网络参数之间相互关系的一种数学描述。 类型：节点电压方程 回路电流方程 割集电压方程 常用节点电压方程，包括节点导纳矩阵和节点阻 抗矩阵表示。 ：节点注入电流列向量 ：节点电压列向量 ：节点导纳矩阵 节点电压方程的形式 关于节点导纳矩阵的元素 对角元 ：节点 i 的自导纳 非对角元 ：节点 i 和节点 j 之间的互导纳 注：用以节点导纳矩阵表示的节点电压方程进行潮流计算时， 最节省计算机资源，因而最常用。 例：如图所示网络 以对角元 和非对角元 、 为例。 1 2 3 1 3 2 + - 二、等值变压器模型 原始网络 1 2 按实际变比，将所有阻抗归算至一次侧 注：一旦变压器变比 发生变化，则所有阻抗须按上式 归算，计算麻烦。按以下方法处理。 1. 按标准变比归算 1 2 按标准变比 ，将所有阻抗归算至一次侧 2. 对实际变比不等于标准变比： ，接入理 想变压器进行修正，得非标准变比变压器模型（修正电路） 1 2 理想变压器的变比 ：非标准变比，或实际变比 此时，将阻抗归算至一次侧 注：与按实际变比直接归算所得的值完全相同。

3. 非标准变比变压器模型化为Π型等值电路 1 2 以阻抗表示的Π型等值电路 列出两种电路（修正电路和等值 电路）的方程 修正电路 等值电路 比较，可得 以导纳表示的Π型等值电路 思考：以阻抗表示的等值电路和以导纳表示的等值电路如何 相互转化。 三、等值变压器模型的应用 1 2 3 4 1:K1 K2:1 T1 T2 如图所示网络，变压器T1、T2的电抗归算至基本级，用 下图电路模拟。 应用原理：将所有阻抗按标准变比归算至基本级。当某变 压器变比不是标准变比时，只需将该变压器用 等值模型（或其Π型等值电路）替代，其他元 件不变。 等值电路如图。 例 等值电路如图，给出支路阻抗和对地导纳标么值、 变压器变比标么值。求节点导纳矩阵。 1 2 3 4 5 T1 T2 解 节点导纳矩阵 节点1的自导纳 与节点1有关的互导纳 ， 支路2-4为变压器支路，采用非标准变压器的等值电路，如图。于是节点2的自导纳 4 2 与节点2有关的互导纳 节点4的自导纳 与节点4的有关的互导纳 3 5 支路3-5为变压器支路，采用非标准变压器的等值电路，如图。于是节点3的自导纳 与节点3有关的其他互导纳 节点5的自导纳 至此，节点导纳矩阵的元素全部求出。

欧宝注册所以，电路 的节点导纳矩阵为 例 两台升压变压器并列向一阻抗为0.8+j0.6的负荷供电，接线如图。 ，T1为额定变比，T2的高压侧抽头电压为5%，按额定电压归算至一次侧的阻抗都是j0.1。试求：（1）节点导纳矩阵；（2）功率分布。 T1 T2 j0.1 j0.1 1:1.05 1 2 1 2 解 （1）等值电路如图。其中 节点导纳矩阵 ，其中 2 1 （2）设注入电流为正方向， 负荷电流 j0.1 j0.1 1:1.05 由节点电压方程，有 得 1 2 T1二次侧功率 T2二次侧电流 T2二次侧功率 一、节点导纳矩阵的形成 节点导纳矩阵（元素）的特点 1. 阶数：等于电力网络中除参考节点（一般为大地）以外 的节点数。 2. 稀疏性：节点导纳矩阵是稀疏矩阵，即包含大量的零元 素。随着节点的增加，稀疏程度增加。 3. 对角元：各节点的自导纳，等于相应节点所连支路的导 纳之和，即 4. 非对角元：各相应节点的互导纳，等于相应节点之间所 连支路导纳之和的负值，即 ， 5. 对称性：对称方阵，一般只需要求取矩阵的上三角或下 三角部分，即 节点导纳矩阵形成的基本方法：观察法 添加支路法